Wzrost wykładniczy liczebności populacji – jeden z typów dynamiki liczebności populacji, zjawisko zwiększania się liczebności zgodnie z prawem wzrostu wykładniczego, występujące wówczas, gdy populacja nie napotyka na ograniczenia, np. związane z nadmiernym zagęszczeniem (zob. zasada Alleego) lub oddziaływaniami (interakcjami) międzygatunkowymi.

Thomas Malthus i „granice wzrostu” thumb|250px|Prognozy dotyczące dalszych zmian liczby ludności Ziemi, sporządzane na podstawie różnych założeń (dalszy wzrost wykładniczy lub zmniejszenie rozrodczości w stopniu umiarkowanym lub dużym), pozwalają np. określać przyszłe potrzeby żywnościowe i energetyczne Najprostszy model wykładniczy rozwoju pojedynczej populacji otrzymuje się zakładając, że populacja ma warunki nieograniczonego rozwoju, w tym np. że każdy osobnik ma nieograniczony dostęp do pożywienia i miejsc lęgowych. Przyjmuje się ponadto, że śmiertelność jest bliska zeru, wszystkie osobniki są równomiernie rozlokowane przestrzennie i jednakowe – są zdolne do partenogenezy i wydają na świat regularnie tyle samo potomków (liczba co jednostek czasu). W takim abstrakcyjnym przypadku średnią liczebność populacji ( osobników w chwili ) można obliczyć z zależności:

gdzie (współczynnik rozrodczości),

albo:

Równania opisują model wzrostu populacji – w wersji ciągłej i dyskretnej – opracowany przez Thomas Malthusa, który pod koniec XVIII w. zwracał uwagę na zbyt szybki wzrost liczby ludności Ziemi. W swoim stwierdził, że liczba ludności zwiększa się w tempie geometrycznym, a zasoby żywności w tempie arytmetycznym, co doprowadzi do katastrofy (zob. statyczna teoria zasobów, pułapka maltuzjańska).

Prace Malthusa były jedną z podstaw działania Klubu Rzymskiego, który w roku 1968 wydał Raport Granice wzrostu, w którym – poza analizami demograficznymi – oszacowano m.in. tempo wyczerpywania się zasobów naturalnych, związanego z intensyfikacją rolnictwa i przemysłu. Publikację Raportu uważa się za początek działań proekologicznych, zmierzających do ustalenia zasad zrównoważonego rozwoju.

Liczebność ludzkiej populacji oraz wskaźniki rozrodczości i śmiertelności w poszczególnych regionach świata są obecnie monitorowane i rejestrowane – wraz z informacjami o czynnikach determinujących tempo wzrostu – i wykorzystywane w skali globalnej do planowania działań zapobiegających takiej katastrofie. Prognozy Malthusa, oparte na modelu wykładniczym, okazały się zbyt katastroficzne.

Niezbędne jest stosowanie bardziej złożonych modeli, uwzględniających liczne czynniki wpływające na rozrodczość i śmiertelność, w tym modeli logistycznychZamieszczone w multimedialnej encyklopedii pwn.pl hasło „Dynamika populacji” zawiera, poza animacjami ze słownym komentarzem, program „Spróbuj sam”, umożliwiający samodzielne zbadanie wpływu parametrów modelu matematycznego na kształt krzywej wzrostu; zob. np. „Dynamika populacji” w: dziale Ńatura, CD 13 „Nauki przyrodnicze”, pwn.pl Wrocław 2001..

Wykładniczy wzrost populacji o pokoleniach nieciągłych Nieco mniej uproszczony model wykładniczy dotyczy wzrostu populacji gatunków z brakiem ciągłości pokoleń, np. jednorocznych owadów lub roślin. W modelowej populacji jednorocznej samica wydaje na świat w sezonie rozrodczym córek dożywających do następnego sezonu rozrodczego. Średnia wartość mniejsza lub większa od jedności, jest charakterystyczną cechą populacji, nazywaną tempem reprodukcji netto. Między liczebnością takiej modelowej populacji w kolejnych pokoleniach ( i ) istnieje zależność:

Przyjmując dodatkowo, że tempo reprodukcji netto nie ulega zmianom, otrzymuje się krzywe wykładnicze: rosnące, gdy malejące, gdy

thumb|340px|Zależność tempa wzrostu liczebności populacji w czasie od tempa reprodukcji netto + Przykłady pokoleniowych zmian liczebności populacji Pokolenie R0 = 4 ''R0 = 2| colspan=2 width = 120 style="background:#f0f0f0;"| R''0 = 0,5 1 100 400 100 200 100 50 2 400 1600 200 400 50 25 3 1600 6400 400 800 25 13 4 6400 25600 800 1600 13 6 5 25600 102400 1600 3200 6 3

Więcej parametrów charakteryzujących populację umieścił w swoim modelu S.A. Siewiercow (1941):

gdzie: – liczebność populacji, początkowa i po upływie czasu – wielkość miotu, – okres między kolejnymi miotami, – okres do osiągnięcia dojrzałości płciowej, – stosunek płci w populacji.

Wykładniczy wzrost populacji o pokoleniach ciągłych W przypadku gatunków o wydłużonym lub ciągłym okresie rozrodczym, u których występuje ciągłość pokoleń, są stosowane proste równania różniczkowe. Zakłada się, że w dowolnie krótkim czasie prawdopodobieństwo: że osobnik wyprodukuje potomka wynosi śmierci osobnika wynosi

gdzie i są punktowymi (chwilowymi) współczynnikami rozrodczości i śmiertelnościOmówienie definicji wskaźników punktowych (chwilowych) i skończonych jest zamieszczone – wraz z przykładami obliczeń – w podręczniku Ch.J. Krebsa „Ekologia. Eksperymentalna analiza rozmieszczenia i liczebności”, dodatek III, s. 635–638..

Punktowy współczynnik wzrostu populacji wynosi:

a szybkość zmian liczby osobników:

thumb|250px|Dwa modele wzrostu pojedynczej populacji;krzywe:* wykładnicza „J” – Thomas Malthus,* logistyczna „S” – Pierre François Verhulst;X – czas, Y – liczebność populacji Jest to funkcja wykładnicza wrodzonego tempa wzrostu populacji. Opisuje wzrost liczby bez ograniczeń środowiskowych, przedstawiany na wykresach jako tzw. krzywa J. Założenie, że rozrodczość i śmiertelność nie zależą od zagęszczenia, jest w przybliżeniu spełniane w sytuacjach, gdy jest ono niewielkie. Przykładem zastosowania może być obliczenie czasu, po którym nastąpi podwojenie się np. liczby ludności, jeżeli punktowe tempo wzrostu wynosi = 0,03:

W rzeczywistości może to nastąpić znacznie później, jeżeli wartość zmniejszy się i wzrost będzie miał charakter logistyczny (krzywa S).

Zobacz też metoda wielokrotnych złowień oscylacje i fluktuacje liczebności populacji równanie Lotki-Volterry

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne www.icm.edu.pl Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska. Modele ekologiczne Section 4.6 Modeling with Exponential and Logarithmic Functions

Applications of Exponential Functions (przykłady obliczeń), www.algebralab.org

Kategoria:Ekologia

en:Theoretical ecology#Exponential growth