Równanie Hamiltona-Jacobiego – postać równań ruchu, którą można utworzyć na podstawie hamiltonianu.
Ma ono postać równania różniczkowego cząstkowego na funkcję działania :
gdzie opisuje transformację
która daje rozwiązania równań ruchu, w których i pełnią rolę stałych całkowania.
Nazwa pochodzi od Williama Rowana Hamiltona i Gustava Jacobiego.
Wyprowadzenie Jest to metoda całkowania równań kanonicznych Hamiltona
dla
Jeżeli przekształcenie kanoniczne
prowadzi do postaci funkcji Hamiltona niezależnej od nowych zmiennych kanonicznych, np.
równania Hamiltona przybierają postać
Ich rozwiązaniem jest więc po prostu
gdzie i są stałymi całkowania.
Podstawiając te rozwiązania do transformacji otrzymuje się ruch fazowy wyrażony w zmiennych i
stałych dowolnych można wyznaczyć z warunków początkowych
problem sprowadza się więc do znalezienia odpowiedniego przekształcenia.
Przyjmując, że przekształcenie to dane jest wzorem
gdzie warunkiem, aby było to przekształcenia kanoniczne, jest
i wykorzystując otrzymujemy
Następnie, wykorzystując fakt, że dla transformacji zmianę hamiltonianu opisuje wzór
można rozwinąć do postaci
Wreszcie wstawiając otrzymuje się równanie Hamiltona-Jacobiego:
Przypisy
Kategoria:Mechanika analityczna Kategoria:Fizyka matematyczna Hamiltona-Jacobiego Kategoria:Równania różniczkowe cząstkowe Kategoria:William Rowan Hamilton