Równania o zmiennych rozdzielonych Przykład Rozwiąż równanie różniczkowe przy warunku początkowym .
Otrzymaliśmy zatem rodzinę rozwiązań danego równania różniczkowego (tzw. całkę ogólną). Znając warunek początkowy, wyznaczamy całkę szczególną tego równania, podstawiając do powyższego wyniku . Otrzymujemy wówczas równanie:
Po podstawieniu otrzymanej wartości do całki ogólnej równania otrzymujemy:
Ostatecznie szczególnym rozwiązaniem danego równania jest funkcja:
Równania jednorodne Równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci:
Po zastosowaniu podstawienia daje się ono sprowadzić do postaci równania o zmiennych rozdzielonych oraz . Wówczas:
Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji, otrzymujemy:
Przykład Równania liniowe (*)
r. jednorodne
r. niejednorodne
zamiana
wstawiamy do (*) to są (**) wstawiamy do(*)
wstawiamy do (**)
Równania liniowe jednorodne
Równania liniowe niejednorodne Równanie Bernoullego Ogólna postać równania Bernoullego to:
gdzie , natomiast oraz – to dowolne funkcje rzeczywiste.
Po obustronnym podzieleniu równania przez otrzymujemy równanie postaci:
Po zastosowaniu podstawienia otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne.
przykład
Równanie dzielimy obustronnie przez
, gdzie
oraz wykonujemy podstawienie dla równania Bernoullego, w wyniku czego otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne o zmiennej niezależnej x oraz szukanej niewiadomej :
Skojarzone równanie jednorodne ma postać:
Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja:
Szukamy następnie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
, gdzie ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji oraz pochodną funkcji złożonej otrzymujemy także:
Wyprowadzone powyżej zależności podstawiam do równania niejednorodnego:
W wyniku tej operacji powinno się zredukować. Jeżeli tak się nie stało, to oznacza, że gdzieś mógł się pojawić błąd obliczeniowy. Jeżeli wszytko obliczone jest poprawnie, powinniśmy otrzymać równanie:
Zatem
Wracając do postaci sprzed podstawienia Bernoullego, otrzymujemy:
Funkcja tożsamościowa nieobejmowana przez powyższe rozwiązanie także spełnia wyjściowe równanie.
Równanie zupełne
Czynnik całkujący Równanie niebędące równaniem zupełnym być może po pomnożeniu przez czynnik zależny od jednej ze zmiennych niezależnych x lub y będzie równaniem zupełnym. Wówczas otrzymamy:
Wyprowadźmy zatem wzór na czynnik całkujący zależny od x. Spełnione ma być równanie postaci:
Po prawej stronie równania skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji. Po lewej stronie równania przed znak pochodnej cząstkowej wyłączono czynnik niezależny od zmiennej, po której liczymy pochodną:
Ostatecznie po obustronnym całkowaniu powyższego równania po zmiennej x szukany czynnik całkujący otrzymamy ze wzoru:
Analogicznie znajdziemy wzór na czynnik całkujący zależny od zmiennej y.
Równania wyższych rzędów Równania II rzędu sprowadzane do równania I rzędu
Równania postaci możemy podzielić na dwie grupy równań. W zależności od typu równania, z jakim mamy do czynienia, przyjmiemy odpowiedni sposób rozwiązania.
Jawnie nie występuje zmienna zależna y
Rozpatrzmy przykładowe równanie . Po zastosowaniu wskazanego podstawienia otrzymujemy równanie postaci . Zmienna zależna została zastąpiona zmienną zależną . Rola zmiennej niezależnej nie zmieniła się. Otrzymujemy zatem równanie, którego ogólną postać zapiszemy jako:
Szukamy zatem rodziny funkcji zależnej od jednej stałej całkowania , a następnie – wracając do pierwszego podstawienia – wyznaczamy wartość rodziny funkcji zależnej ostatecznie od dwóch stałych całkowania oraz .
jawnie nie występuje zmienna niezależna x
W opisywanym przypadku po zastosowaniu przytoczonego obok podstawienia zmieni się rola zmiennej zależnej y(x), która w otrzymanym równaniu będzie zmienną niezależną. Natomiast pojawi się zmienna zależna . Ostatecznie zatem otrzymamy równanie, którego ogólną postać możemy zapisać jako:
Przykład
Po podstawieniu otrzymujemy równanie postaci:
Jest ono równaniem Bernouliego o niewiadomej funkcji . Zatem po zastosowaniu podstawienia Bernouliego otrzymamy równanie liniowe niejednorodne.
c.d.n.
Równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikach Metoda uzmienniania stałych na przykładzie
Najpierw rozwiązujemy jednorodne:
Konstruujemy wielomian charakterystyczny
Stąd mamy rozwiązanie w postaci:
Teraz uzmienniamy stałe
Następnie tworzymy układ :
Rozwiązujemy układ w celu wyznaczenia i