= Przedziały liczbowe =
Spójrzmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy: Przykład 1. - przedział domknięty Przykład 2. - przedział otwarty Przykład 3. - przedział lewostronnie otwarty Przykład 4. - przedział nieograniczony Przykład 5.
Przedział domknięty
W podręczniku używany jest zapis oznaczający przedział domknięty, jednak może on być znany czytelnikowi również pod postacią: . Będziemy jednak używać pierwszego sposobu, gdyż drugi jest często używany do oznaczania pary liczb.
Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy , będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:
Przedział liczbowy zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:
Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.
Przedział otwarty
Przykład 2. Za pomocą oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.
Przedział otwarty na osi zaznaczymy w ten sposób:
Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.
Przedział lewostronnie otwarty
Przykład 3. oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:
Przedział na osi liczbowej zaznaczymy tak:
Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:
Przedziały nieograniczone
Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- .
Przykład 4. Przez oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od . Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez .
Przedział możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:
Przykład 5. oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.
Przedział analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:
Działania na przedziałach
Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.
Przykład 6 Wyznaczmy , , , , i , gdzie , a
Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:
Z rysunku widzimy, że: