Rozszerzenie Galois – rozszerzenie algebraiczne danego ciała takie, że istnieje grupa automorfizmów ciała ze względu na którą jest ciałem elementów stałych.
Definicja Rozszerzeniem Galois danego ciała nazywa się takie rozszerzenie algebraiczne ciała takie, że istnieje grupa automorfizmów ciała taka, że: , gdzie .
Własności Dane rozszerzenie algebraiczne ciała jest rozszerzeniem Galois wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem normalnym i rozdzielczym.
Dowód „”
Sprawdźmy, że rozszerzenie Galois musi być normalne i rozdzielcze. Skoro jest to rozszerzenie Galois, to z definicji istnieje grupa automorfizmów ciała dla której jest ciałem elementów stałych, tzn. Ustalmy oraz nierozkładalny wielomian z pierścienia taki, że Udowodnimy następnie, że stanowi iloczyn czynników liniowych należących do ale nie do Weźmy dowolny endomorfizm i zauważmy, że wielomian przyjmuje w punkcie wartość (jest tak, ponieważ ). Tak więc jest pierwiastkiem wielomianu a zbiór jest skończony. To znaczy, że dla danego istnieć może jedynie skończona liczba różnych pomimo dowolnie wybieranych endomorfizmów.