Jeśli ciąg (w przestrzeni metrycznej) jest zbieżny, to jest ciągiem Cauchy’ego (w przypadku ciągów liczbowych rzeczywistych lub zespolonych zachodzi również twierdzenie odwrotne, to znaczy powyższe warunki są równoważne).
Przykłady Zbiór jako przestrzeń metryczna z metryką Podobnie ze zbiorem Zbiór liczb wymiernych jako przestrzeń metryczna z metryką W tej przestrzeni np. ciąg nie jest zbieżny, chociaż jest rosnący i ograniczony. Przestrzeniach liniowa z normą jeśli przyjąć jako metrykę Przestrzeń, której elementami są punkty płaszczyzny o współrzędnych całkowitych, z odległością naturalną. W tej przestrzeni metrycznej ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy od pewnego wskaźnika począwszy jest stały.
Zbieżność w przestrzeniach topologicznych Definicje Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w jeszcze ogólniejszych przestrzeniach topologicznych przez zastąpienie kul otoczeniami.
Niech będzie przestrzenią topologiczną. Ciąg elementów tej przestrzeni jest zbieżny do jeśli
co można wyrazić: dla dowolnego otoczenia punktu istnieje taki wskaźnik że dla wszystkich wskaźników wyrazy leżą w otoczeniu