Ściślej możemy zapisać to w postaci:
Warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy wymagali tylko ograniczenia pochodnych, to znaczy:
wynikałoby z tego, że wszystkie możliwe pochodne funkcji gładkiej muszą być ograniczone pewną stałą czyli:
Na przykład dla gładkiej funkcji o wartościach zespolonych danej wzorem mamy co jest funkcją nieograniczoną, więc żaden wielomian nie należy do tej przestrzeni. Jeżeli jednak dodatkowo będziemy wymagać pierwotnej nierówności (tj. z jednomianem ), to wynik ten jest jeszcze silniejszy, ponieważ implikuje nierówność dla każdego i pewnych stałych
gdyż
Świadczy to o tym, że tempo wzrostu wszystkich pochodnych funkcji musi być znacznie mniejsze niż odwrotność dowolnego jednomianu.
Definicja Niech będzie zbiorem liczb naturalnych (z zerem) i ustalmy Przestrzeń Schwartza lub inaczej przestrzeń funkcji szybko malejących na jest przestrzenią funkcji:
gdzie jest przestrzenią funkcji gładkich z do a do tego:
Przykłady funkcji z przestrzeni Schwartza Jeśli jest wielowskaźnikiem, a jest dodatnią liczbą rzeczywistą, to