Pas podstawowy Dla niech otwarty pas będzie zdefiniowany jako zbiór takich, że dla oraz Pas podstawowy funkcji jest definiowany jako największy pas otwarty, na którym ta funkcja jest dobrze określona. Na przykład dla pasem podstawowym funkcji danej wzorem
jest Jak widać na tym przykładzie, tempo zbieżności funkcji przy określa lewy kraniec jej pasa podstawowego, a tempo zbieżności funkcji przy określa jej prawy kraniec. Możemy to podsumować, używając notacji dużego O: jeśli jest przy i przy to jest dobrze określona w pasku .
Zastosowanie tego można zobaczyć w przypadku funkcji gamma, Skoro funkcja dana wzorem jest przy oraz dla wszystkich przy to jest dobrze określona w pasie co potwierdza fakt, że funkcja gamma jest analityczna dla
Transformacja Mellina jako izometria przestrzeni L2 W badaniu przestrzeni Hilberta transformacja Mellina jest często ustawiana w nieco inny sposób. W przypadku funkcji z przestrzeni (zobacz: przestrzeń Lp) pas podstawowy zawsze zawiera prostą więc możemy zdefiniować operator liniowy wzorem
Innymi słowy, rozważamy przekształcenie