Operator różniczkowy – operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych, definiujący proces tworzenia z danej funkcji nowej funkcji za pomocą operacji różniczkowania. Operatorem różniczkowym może być na przykład operator, który tworzy nową funkcję, będącą sumą pierwszej i drugiej pochodnej danej funkcji (patrz: Przykład poniżej).
Dziedziną operatora nazywa się zbiór wszystkich funkcji, na których określony jest dany operator. Przy tym mogą to być funkcje jednej lub wielu zmiennych, funkcje skalarne, wektorowe i ogólnie – funkcje tensorowe.
Definicja Rozważmy przestrzeń funkcji klasy gdzie jest zbiorem otwartym. Wówczas operatorem różniczkowym rzędu określonym na tej przestrzeni nazwiemy operator liniowy
gdzie jest wielowskaźnikiem, a są pewnymi funkcjami. Przez rozumie się operatory pochodnych cząstkowych dane przez
Przykład Operator różniczkowy dany jest wzorem:
Funkcje, na które można działać operatorem muszą być klasy tj. muszą to być funkcje różniczkowalne co najmniej dwukrotnie. Dziedziną operatora jest więc zbiór funkcji klasy
Np. działając operatorem na funkcję
otrzyma się
czyli
Własności operatora różniczkowego Tw. 1 Operator różniczkowy jest operatorem liniowym, tj.
gdzie: – dane funkcje, – stała liczba.