Propagował ideę sportowe w Toruniu. Popierał teorię gimnastyki Friedricha Ludwiga Jahna. W 1860 roku założył Thorner Manner-Turnverein. Z jego inicjatywy w 1893 roku powołano gimnazjalne towarzystwo gimnastyczne. W latach 1873–1912 był przedstawicielem niemieckiego związku sportowego Deutsche Turnerschaft na powiat toruński. Przyczynił się do budowy miejskiej hali gimnastycznej im. Friedricha Ludwiga Jahnego, położonej przy Gartenstraße (obecnie ulicy Krasińskiego 14/16). Hala zaprojektowana w 1904 roku została wybudowana w 1910 roku, a oddana do użytku rok później.
Był przewodniczącym Rady Miejskiej. W 1900 roku został Honorowym Obywatelem Miasta Torunia.
Zmarł 2 lutego 1912 roku w Toruniu. Za swój wkład w propagowanie sportu został pośmiertnie upamiętniony przez wystawienie pomnika – głazu narzutowego z plakietką z podobizną Boethkego. Pomnik odsłonięto w 1913 roku. Nie zachował się do czasów dzisiejszych, na pewno stał jeszcze w okresie międzywojennym.
Rodzina W 1863 roku ożenił się z Margot Hartmann. Mieli siedmioro dzieci: czterech synów (Karla, Paula, Oswalda i Maxa) i trzy córki. Karl został sędzią w Chojnicach, Paul był oficerem marynarki i dowódcą okrętu, Oswald lekarzem. Max zmarł w wieku niemowlęcym.