Umbralny szereg Taylora W rachunku różniczkowym szereg Taylora jest nieskończoną sumą wyrażeń zbudowanych na podstawie pochodnej funkcji w jednym punkcie. To znaczy, że oparta na liczbach rzeczywistych bądź zespolonych funkcja odznaczająca się regularnością w może zostać zapisana w sposób następujący:
Podobne relacje zostały zaobserwowane w rachunku różnicowym. Wersja umbralna szeregu Taylora jest dana za pomocą podobnego wyrażenia, zawierającego w sobie -tą różnicę funkcji wielomianowej
gdzie:
jest potęgą kroczącą. Podobna relacja obowiązuje dla różnic wstecznych i silni rosnących.
Ten szereg znany jest również jako szereg Newtona (postać Newtona). Podobieństwo do standardowego szeregu Taylora jest utylizowana w rachunku różnicowym.
Współczesny rachunek umbralny Kombinatoryk Gian-Carlo Rota wykazał, że pomimo historycznej absurdalności, rachunek umbralny ma rzeczywiste podstawy matematyczne. Rozważając funkcjonał liniowy na zdefiniowany jako
a następnie używając definicji wielomianów Bernoulliego i definicji liniowości można zapisać:
Pozwala to na zastąpienie za pomocą co oznacza przeniesienie indeksu do wykładnika, a więc głównej operacji rachunku umbralnego.