mały|Wielomiany Bernoulliego
Wielomiany Bernoulliego, nazwane na cześć Jakoba Bernoulliego, łączą w sobie liczby Bernoulliego i symbol Newtona. Są używane przy rozszerzaniu funkcji w nieskończone szeregi, a także we wzorze Eulera-Maclaurina.
Te wielomiany występują w badaniach wielu funkcji specjalnych, a szczególnie w rozważaniach nad funkcją dzeta Riemanna oraz funkcją dzeta Hurwitza. Wielomiany te stanowią ciąg Appella (np. ciąg Sheffera dla zwykłego operatora pochodnej). Liczba przecięć wielomianów Bernoulliego z osią odciętych w przedziale jednostkowym jest niezmienna niezależnie od stopnia wielomianu. Dla wysokich stopni wielomianów Bernoulliego granica jest zbliżona w przybliżeniu do funkcji sinus i cosinus.
Podobnym zbiorem wielomianów są wielomiany Eulera.
Postaci Wielomiany Bernoulliego mogą zostać zdefiniowane za pomocą funkcji tworzącej. Mają również znaczną ilość innych postaci.
Funkcje tworzące Funkcja tworząca dla wielomianów Bernoulliego prezentuje się następująco:
Odpowiednikiem tego wzoru dla wielomianów Eulera jest
Postać jawna
dla gdzie są liczbami Bernoulliego, a – liczbami Eulera.
Postać oparta na operatorze pochodnej Wielomiany Bernoulliego mogą zostać opisane wzorem: