dla funkcji rzeczywistych; ciąg funkcji ciągłych może zbiegać punktowo do funkcji nieciągłej.
Różniczkowanie mały|Wykres funkcji Weierstrassa – ciągłej, ale nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie mały|Wykres funkcji Jest ona różniczkowalna, ale jej pochodna jest nieciągła w zerze, bo nie ma tam w ogóle granicy. mały|Funkcja Cantora, czasem zwana diabelskimi schodami – rosnąca mimo stacjonarności prawie wszędzie. mały|Wykres funkcji W zerze, tj. dla jest gładka (klasy ), jednak nie jest tam analityczna (klasy ), ponieważ jej wszystkie pochodne znikają.
funkcja różniczkowalna musi być ciągła, ale nie odwrotnie; suma, różnica i iloczyn funkcji różniczkowalnych są różniczkowalne. Innymi słowy funkcje różniczkowalne są algebrą nad ciałem liczb rzeczywistych, jednak – tak jak wśród funkcji ciągłych – występują właściwe dzielniki zera; podstawowe własności algebraiczne pochodnej jak wzory na pochodną sumy, różnicy i przeskalowania funkcji można wyrazić krótko: pochodna to przekształcenie liniowe; wzory na pochodną iloczynu, złożenia (reguła łańcuchowa) i funkcji odwrotnej; pochodna funkcji musi mieć własność Darboux, ale nie musi być ciągła; pochodna funkcji ma przeliczalną liczbę nieciągłości skokowych; twierdzenie Fermata: jeśli funkcja jest różniczkowalna w swoim ekstremum, to jest ono punktem stacjonarnym.