istnieją tam dzielniki zera; funkcja może nie być ciągła w żadnym punkcie – przykładem jest funkcja Dirichleta; zbiór nieciągłości może być jednocześnie gęsty i przeliczalny – własność tę ma funkcja Thomae; zbiór nieciągłości jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych Discontinuity point , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-23].. funkcja monotoniczna ma przeliczalną liczbę nieciągłości i wszystkie są skończenie skokowe (nieusuwalne I rodzaju); twierdzenie Darboux: z ciągłości wynika własność Darboux. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi, a funkcja Darboux nie musi mieć nawet granicy w żadnym punkcie – por. ; funkcja wypukła lub wklęsła na zbiorze otwartym jest ciągła; jeśli funkcja addytywna jest ciągła, monotoniczna lub ograniczona, to jest liniowa; jeśli funkcja okresowa jest ciągła, to jest stała lub ma okres podstawowy (zasadniczy); twierdzenie Weierstrassa o kresach funkcji ciągłej; twierdzenie Heinego-Cantora: z ciągłości na zbiorze zwartym wynika ciągłość jednostajna; twierdzenie Szarkowskiego o iteracjach ciągłych funkcji rzeczywistych; funkcje lipschitzowskie oraz hölderowskie są ciągłe jednostajnie; twierdzenie Banacha o kontrakcji zachodzi m.in.