W 1950 r. Harold N. Shapiro opublikował dowód oparty również na powyższej zależności asymptotycznej, korzystający jedynie z elementarnych przekształceń, charakterów Dirichleta i własności L-funkcji, niewymagający definiowania dodatkowych funkcji ani znajomości analizy zespolonej.
Silniejsze wyniki Rozbieżność szeregu odwrotności Wykorzystując rozumowanie Shapira, można wykazać zależność
dla pewnej stałej zależnej od i która implikuje rozbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych a to pociąga za sobą prawdziwość twierdzenia Dirichleta. Implikacja odwrotna nie jest trywialna i nie musiałaby być prawdziwa (tak jak np. istnieje nieskończenie wiele kwadratów liczb naturalnych, ale suma szeregu ich odwrotności jest skończona).
Twierdzenie Siegela-Walfisza
Twierdzenie Siegela-WalfiszaWalfisz, Arnold (1936). „Zur additiven Zahlentheorie. II” [On additive number theory. II]. Mathematische Zeitschrift (niem.). 40 (1): 592–607. doi:10.1007/BF01218882. MR 1545584.