Twierdzenie Spernera – twierdzenie kombinatoryczne w ekstremalnej teorii zbiorów, określające maksymalną liczność rodziny zbiorów, w której żaden zbiór nie jest podzbiorem innego. Twierdzenie to zostało sformułowane przez niemieckiego matematyka Emanuela Spernera w 1928 roku.
Twierdzenie Rodzinę zbiorów skończonych, w której żaden zbiór nie jest zawarty w innym nazywa się rodziną Spernera. Rodzina Spernera stanowi antyłańcuch w uporządkowanym przez zawieranie zbiorze potęgowym pewnego skończonego zbioru Przykładem rodziny Spernera jest rodzina wszystkich -elementowych podzbiorów zbioru dla pewnego której liczność wynosi .
Zgodnie z twierdzeniem Spernera jeśli jest rodziną Spernera podzbiorów zbioru -elementowego toRównoważnie rodzina jest antyłańcuchem w o maksymalnej liczbie elementów.
Dowód Niech będzie rodziną Spernera podzbiorów zbioru -elementowego i niech Wówczas nierówność Lubella-Yamamoto-Meshalkina daje
Ponieważ współczynniki dwumianowe spełniają nierówność
zachodzi
co jest równoważne tezie lematu.
Uogólnienia
Wszystkie antyłańcuchy o maksymalnej mocy W 1979 roku Lovász wskazał wszystkie rodziny Spernera podzbiorów zbioru -elementowego o maksymalnej liczności.