Wzór Perrona – twierdzenie analitycznej teorii liczb, które pozwala wyrazić sumę częściową wartości danej funkcji arytmetycznej przy pomocy skojarzonego z nią szeregu Dirichleta. Twierdzenie zostało nazwane po Oskarze Perronie. Wykorzystuje się je w dowodzie twierdzenia o liczbach pierwszych, aby problem dyskretny przeformułować w kategoriach funkcji zeta Riemanna.
Treść twierdzenia Zapisywać będziemy , aby dla danej liczby zespolonej wyrazić jej część rzeczywistą i urojoną.
Niech
będzie szeregiem Dirichleta zbieżnym bezwzględnie dla . Niech , będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas, dla zachodzi równość
,
gdzie
zapis oznacza, że ostatni składnik sumy pomnożony jest przez , gdy jest liczbą całkowitą. W szczególności, gdy , to
.
Korzystając z odwrotnej transformacji Mellina, treść dowodu można zapisać jako
,
gdzie .
Dowód jest częścią rzeczywistą zmiennej pod całką, więc szereg jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze półpłaszczyzny . Stąd
.
Powyższą sumę można rozdzielić na części, gdzie , i ewentualnie trzeci składnik.
,
przy czym zapis oznacza, że ostatnie wyrażenie uwzględnia się wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą całkowitą. Reszta dowodu wynika z tożsamości
prawdziwej dla dowolnych liczb rzeczywistych , oraz z nierówności
prawdziwej dla .