3–43).
Praca na Uniwersytecie w Getyndze
Rozprawa doktorska na temat funkcji zespolonych pt. Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse dotyczyła m.in. możliwości zastosowania metod geometrycznych (zob. np. odwzorowanie równokątne) w teorii funkcji analitycznych (zob. m.in. analiza matematyczna, Leonhard Euler, Augustin Louis Cauchy). Jednak najgłębszym osiągnięciem rozprawy doktorskiej Riemanna była idea ciągłej „powierzchni” składającej się z połączonych płatów zespolonych (zob. Powierzchnia Riemanna). Opisał w niej także funkcje zespolone oraz ich całkowanie niezależnie od Cauchy'ego.
Trzy lata później Riemann przygotował fundamentalne prace, dotyczące: przedstawiania funkcji przy pomocy szeregu trygonometrycznego (badania warunków Dirichleta) klasyfikacji wszystkich istniejących rodzajów geometrii (łącznie z nieeuklidesowymi) oraz możliwości tworzenia dowolnej liczby nowych przestrzeni (rozszerzenie teorii Gaussa – zob. krzywizna Gaussa – na przestrzenie wielowymiarowe – zob. rozmaitość riemannowska) Drugi z tych problemów stał się tematem wykładu habilitacyjnego, wygłoszonego 10 czerwca 1854 roku (dzień uznawany za jeden z najważniejszych w historii matematyki).