Dowód Każdy z przedziałów dla jest zbiorem otwartym, a jest ciągła, więc ich przeciwobrazy też są otwarte (w zbiorze ). Rodzina pokrywa przedział więc ze zwartości tego ostatniego istnieje podpokrycie skończone – istnieją dla których Wówczas dla dowolnego mamy gdzie co oznacza, że jest funkcją ograniczoną. Oznaczmy kres górny obrazu przez i istnieje ciąg punktów przedziału dla których ciąg jest zbieżny do Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg ciągu zbieżny do pewnej granicy Wtedy na mocy ciągłości funkcji otrzymujemy A więc wartość funkcji w punkcie jest kresem górnym obrazu (a więc także dla wszystkich ). W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby dla której
Analiza założeń mały|Funkcja tangens na przedziale ograniczonym jest ciągła i nie jest na nim ograniczona. Ograniczenie obrazu funkcji jest gwarantowane tylko przy dodatkowym założeniu, że przedział, na którym funkcja jest ciągła, jest także domknięty.