Możliwe jest również, że zakres sprężyny jest przejęty przez ruch wahadła, co sprawia, że staje się ona praktycznie neutralna wobec jego ruchu.
Lagrangian Oznaczenia: - długość spoczynkowa sprężyny, - rozciągnięcie lub skrócenie sprężyny od długości spoczynkowej, - kąt odchylenia wahadła od pionu.
Lagrangian ma postać:
gdzie to energia kinetyczna, a to energia potencjalna.
Prawo Hooke’a opisuje energię potencjalną samej sprężyny:
gdzie to stała sprężystości sprężyny.
Energia potencjalna wynikająca z grawitacji zależy od wysokości, na jakiej znajduje się ciężarek. Dla kąta odchylenia i rozciągnięcia energia potencjalna wynosi:
gdzie to przyspieszenie grawitacyjne.
Energia kinetyczna jest opisana wzorem:
gdzie to prędkość ciężarka. Aby wyrazić za pomocą zmiennych , wektor prędkości rozkłada się na składowe wzdłużną i prostopadłą do sprężyny, co daje wyrażenie
Lagrangian przyjmuje więc postać:
czyli:
Równania ruchu Przy dwóch stopniach swobody, określonych przez zmienne i , równania ruchu można wyprowadzić za pomocą równań Eulera-Lagrange’a, napisanych dla tych dwóch zmiennych:
Dla :
Stąd otrzymuje się równanie na :
Dla :
Stąd otrzymuje się równanie na :