Jego młodszym bratem był Czesław Staszewski, aktor, zmarły w obozie koncentracyjnym w Dachau.
Na wczesnym etapie edukacji był uczony przez nauczycieli prywatnych w domu, a w 1901 zaczął naukę w 8-klasowym V Gimnazjum Państwowym w Warszawie. W 1905, po strajkach szkolnych i dopuszczeniu języka polskiego jako wykładowego, przeniósł się do 8-klasowego Gimnazjum Pawła Chrzanowskiego (późniejsze Gimnazjum i Liceum im. J. Zamoyskiego przy ul. Smolnej). Egzamin maturalny zdał z najwyższym wyróżnieniem cum eximia laude. Szkoła Chrzanowskiego funkcjonowała bez praw rządowych, tzn. nie dawała wstępu na uczelnie na terenie Imperium Rosyjskiego. W związku z tym Staszewski zdał też egzamin maturalny w Lipawie.
W 1910 rozpoczął studia matematyczne i fizyczne na Wydziale Filozofii Uniwersytetu Jagiellońskiego (UJ) w Krakowie. Dzięki stypendium z Kasy im. Józefa Mianowskiego wyjechał na dwa lata na studia na Uniwersytecie w Getyndze, gdzie słuchał wykładów matematyków Feliksa Kleina, Davida Hilberta, geofizyka Emila Wiecherta oraz fizyków i . Nie był jednak zadowolony ze studiów w Getyndze ze względu na ograniczony kontakt z wykładowcami. Jak wspominał: