Kariera reprezentacyjna 12 października 2024 roku Maksimović zadebiutował w reprezentacji Serbii w wieku 17 lat, 4 miesięcy i 7 dni, w meczu grupy 4 Dywizji A Ligi Narodów UEFA 2024/2025 ze Szwajcarią. Pobił tym samym rekord najmłodszego zawodnika, który wystąpił w oficjalnym meczu reprezentacji Serbii. Poprzedni rekord należał do Mitara Mrkeli i został ustanowiony 17 listopada 1982 roku, gdy miał 17 lat, 4 miesiące i 8 dni, jeszcze w czasach reprezentacji Jugosławii. Maksimović wszedł na boisko w 74. minucie za Aleksandara Mitrovicia, a Serbia wygrała 2:0.
W czerwcu 2025 roku Andrija Maksimović wystąpił w dwóch meczach eliminacji mistrzostw świata przeciwko Albanii i Andorze. W żadnym z tych spotkań nie znalazł się jednak w podstawowym składzie.
Styl gry Maksimović jest pomocnikiem znanym przede wszystkim z umiejętności dryblingu.
Życie prywatne Maksimović jest synem serbskiego piłkarza Mirka Maksimovicia. Otrzymał przydomek „Mesi” (serb. cyryl. „Меси”) ze względu na podobieństwo do Lionela Messiego, zwłaszcza z czasów