Pierwiastek cyfrowy (ang. digital root) – funkcja przypisująca liczbie naturalnej jednocyfrową wartość otrzymaną poprzez iteracyjne sumowanie jej cyfr. Wzór funkcji można przedstawić jako: .
Definicja Pierwiastek cyfrowy liczby naturalnej otrzymuje się, sumując wszystkie cyfry liczby, a następnie powtarzając tę operację dla uzyskanego wyniku aż do momentu otrzymania liczby jednocyfrowej.
Przykład:
Zatem pierwiastek cyfrowy liczby wynosi .
Uproszczenie Pierwiastek cyfrowy liczby jest równoważny jej reszcie z dzielenia przez (z wyjątkiem przypadku, gdy liczba jest podzielna przez – wtedy wynik wynosi zamiast ). Dodatkowo przyjmuje się, że . Można go obliczyć za pomocą wzoru dla . Dowód Niech liczba naturalna ma rozwinięcie dziesiętne , gdzie są jej cyframi.
Ponieważ , zachodzi także dla każdego . Stąd .
Oznacza to, że liczba i suma jej cyfr mają tę samą resztę z dzielenia przez . Powtarzając operację sumowania cyfr, nie zmieniamy tej reszty, aż do uzyskania liczby jednocyfrowej.
Każdej klasie reszt modulo odpowiada dokładnie jedna liczba jednocyfrowa z zakresu –, przy czym reszcie 0 odpowiada liczba . Zatem: jeśli , to , jeśli i , to .
W konsekwencji, dla : .