Inne systemy liczbowe Pojęcie pierwiastka cyfrowego można uogólnić na dowolny system liczbowy o podstawie . Dla liczby naturalnej zapisanej w systemie o podstawie : , gdzie , pierwiastek cyfrowy definiuje się jako wynik iteracyjnego sumowania cyfr aż do uzyskania jednej cyfry w tym systemie.
Zachodzi: , a więc dla każdego , skąd: .
W konsekwencji pierwiastek cyfrowy w systemie o podstawie odpowiada reszcie z dzielenia przez , z uwzględnieniem przypadków szczególnych: jeśli , to , jeśli i , to , jeśli , to .
Zwarty wzór dla . Własności Jeśli , dla pierwiastka cyfrowego zachodzą następujące własności: Idempotentność:
Operacje algebraiczne: Dodawanie:
Odejmowanie
Mnożenie
Potęgowanie
Sumowanie
Iloczyn iterowany
Okresowość: . Dowód Idempotentność: Niech: . Wówczas ze względu na to, że pierwiastek cyfrowy jest liczbą jednocyfrową w systemie o podstawie : . Rozważmy dwa przypadki: Jeżeli , to . Jeżeli , to z definicji: . Ponieważ: , otrzymujemy: . Zatem: . A więc: , q.e.d. Operacje algebraiczne: Dodawanie: Z definicji pierwiastka cyfrowego: . Z własności modularnej: . Po zastosowaniu funkcji do obu stron otrzymujemy: , q.e.d. Odejmowanie: Z definicji pierwiastka cyfrowego: . Z własności modularnej dla : . Po zastosowaniu funkcji do obu stron otrzymujemy: , q.e.d. Mnożenie: Z definicji pierwiastka