W maju 2024 roku Barkouski został po raz pierwszy powołany do seniorskiej reprezentacji Białorusi na towarzyskie mecze z Izraelem i Rosją. Zadebiutował w kadrze 11 czerwca 2024 w spotkaniu z Izraelem na Stadionie im. Ferenca Szuszy (0:4), w którym znalazł się w podstawowym składzie i rozegrał 61 minut. 5 września 2025 zdobył z rzutu karnego swoją pierwszą bramkę w drużynie narodowej w meczu z Grecją w eliminacjach Mistrzostw Świata 2026, przegranym 1:5.
Bramki w reprezentacji Lp.DataMiejscePrzeciwnikBramkaRezultatRanga meczu1.5 września 2025Stadion im. Jeorjosa Karaiskakisa, Pireus1:51:5Eliminacje Mistrzostw Świata 2026
Życie prywatne Jego rodzice rozwiedli się, gdy był dzieckiem. Jego matka w 2018 roku otrzymała zieloną kartę i wyemigrowała do Stanów Zjednoczonych, gdzie osiadła w Los Angeles. W maju 2022 roku Barkouski wraz z siostrą wylecieli do tego kraju i złożyli wniosek o azyl. On sam spędził tydzień w areszcie na granicy, a następnie 3 tygodnie w ośrodku detencyjnym w Luizjanie. Po 4 miesiącach powrócił na Białoruś, nie uzyskawszy legalizacji pobytu.