dla wszystkich Izometrie liniowe są przekształceniami zachowującymi odległości w powyższym sensie. Są one izometriami globalnymi wtedy i tylko wtedy, gdy są suriekcjami.
Z twierdzenia Mazura-Ulama wynika, że dowolna izometria między przestrzeniami unormowanymi nad jest przekształceniem afinicznym.
Uogólnienia Dla ustalonej dodatniej liczby rzeczywistej odwzorowanie przestrzeni metrycznych nazywa się -izometrią (lub aproksymacją Hausdorffa), jeżeli dla zachodzi oraz dla każdego istnieje punkt że
Innymi słowy -izometria zachowuje odległości wewnątrz i nie pozostawia żadnego elementu przeciwdziedziny w odległości większej niż od obrazu elementu dziedziny. Uwaga: od -izometrii nie wymaga się, by były ciągłe.
Innym użytecznym uogólnieniem jest quasi-izometria.
Twierdzenie Beckmana-Quarlesa Twierdzenie Beckmana-Quarlesa mówi, że dowolne przekształcenie przestrzeni euklidesowej wymiaru co najmniej dwa w siebie, które zachowuje własność bycia w odległości jednostkowej musi być izometriąJacek Chmieliński „Wybrane zagadnienia analizy funkcjonalnej”, wykład monograficzny dla V roku matematyki, data 2005/2006, s. 10..
Zobacz też rzut izometryczny
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
[dostęp 2023-08-26]. Isometric mapping , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].