gdzie – pewna liczba zespolona (w ogólności dowolna), – jej sprzężenie (liczby te są znormalizowane dla wygody czynnikiem ); jest częstotliwością oscylacji.
Aby otrzymać oscylator kwantowy, liczba jest zamieniane na operator anihilacji zaś liczba na operator hermitowsko sprzężony – operator kreacji; w ten sposób przemieszczenie oscylatora jest promowane do postaci operatora liniowego zależnego od czasu:
przy czym narzuca się warunek komutacyjny
Stan próżni który jest stanem o najniższej energii, jest definiowany równaniem
Dowolny stan kwantowy oscylatora harmonicznego można otrzymać ze stanu próżni poprzez działanie odpowiednią liczbę razy operatorem kreacji
Kanoniczna kwantyzacja rzeczywistego pola skalarnego W analogiczny sposób dokonuje się zamiany pola klasycznego na operator pola amplitudy oraz zamienia się na operatory anihilacji i kreacji odpowiadających pędom czyli otrzyma się
przy czym zakłada się następujące relacje komutacyjne:
gdzie – delta Diraca.
Ponadto stan próżni definiuje się za pomocą warunku:
Znaczenie stanu próżni jest fundamentalne, gdyż każdy inny stan pola można otrzymać przez działanie na stan próżni odpowiednimi operatorami kreacji odpowiednią liczbę razy, np.
generuje stan pola zawierający: 2 kwanty o pędzie 1 kwant o pędzie 3 kwanty o pędzie