Widać też tu, że całka Lebesgue'a jest w tym wypadku równa całce Riemanna, co jest ogólną własnością (jeśli istnieją obie całki).
Oznaczenia
Dalej stosowana będzie następująca konwencja skracająca zapis: symbole
oznaczać będą odpowiednie relacje, tzn.
dla wszystkich elementów należących do ustalonego zbioru lub też całej dziedziny, jeśli nie zostanie zaznaczone inaczej. Podobnie będzie miała się rzecz z funkcjami ( minimum i maksimum) i im podobnymi.
Całkę Lebesgue’a wprowadza się zwykle wraz z miarą Lebesgue’a jako uogólnienie całki Riemanna w przestrzeniach euklidesowych. Jednak wybór miary zależy od zastosowań, sama zaś konstrukcja obowiązuje dla szerszej klasy przestrzeni. Z tego powodu wszędzie, gdzie będzie to można zrobić bez szkody dla jasności wywodu całka w przestrzeni z miarą będzie zapisywana w sposób uproszczony, z pominięciem symbolu tj.
Na podobnej zasadzie opuszczane będzie też wskazanie miary przy mierzalności zbiorów czy funkcji (zob. niżej).
Zbiory mierzalne. Funkcje mierzalne
Niech dana będzie przestrzeń z miarą
Def. Elementy σ-ciała określonego na przestrzeni z miarą nazywa się zbiorami -mierzalnymi względem