Uwaga: Miara jest określona na zbiorach należących do σ-ciała , a nie na wszystkich podzbiorach przestrzeni . Dzięki temu nie ma potrzeby przypisywania miary zbiorom, które nie są mierzalne, takim jak np. zbiór Vitalego.
Def. Funkcja jest -mierzalna, jeśli dla każdego przeciwobraz przedziału należy do σ-ciała , tj.
Wówczas także przeciwobrazy dowolnych zbiorów borelowskich należą do
Tw. Zbiór funkcji mierzalnych jest zamknięty ze względu na działania algebraiczne.
Np. Jeżeli funkcje są mierzalne, to mierzalne są także suma, różnica, iloczyn oraz iloraz tych funkcji, tj. oraz (w ostatnim przypadku: iloraz określony tam, gdzie ma to sens).
Tw. Mierzalne są funkcje:
oraz
nazywane odpowiednio częścią dodatnią oraz ujemną funkcji (moduł, części dodatnia i ujemna są funkcjami nieujemnymi).
Tw. Wprost z definicji wynika, że: oraz
Tw. Zbiór funkcji mierzalnych jest zamknięty ze względu na branie granic punktowych, tzn. jeżeli mierzalne są funkcje należące do ciągu to mierzalne są również funkcje
Definicja funkcji prostej