Def. Funkcję nazywa się prostą, jeżeli jej obraz jest zbiorem skończonym, zaś każda jej wartość przyjmowana jest na pewnym zbiorze mierzalnym tzn. dla Innymi słowy funkcję nazywa się prostą, jeżeli można przedstawić ją w postaci skończonej kombinacji liniowej funkcji charakterystycznych (indykatorów) zbiorów mierzalnych:
dla pewnych wartości oraz zbiorów
Definicja całki Lebesgue’a Definicja całki Lebesgue’a polega na stopniowym komplikowaniu klasy funkcji całkowalnych poczynając od najprostszych.
(1) Def. Całka Lebesgue’a z funkcji charakterystycznej Całka z funkcji charakterystycznej zbioru mierzalnego jest równa mierze Lebesgue'a tego zbioru, tj.
Całka ta może być równa jeżeli zbiór jest nieskończonej miary (np. gdy jest przedziałem otwartym zbioru liczb rzeczywistych).
(2) Def. Całka Lebesgue’a z funkcji prostej nieujemnej Jeżeli jest nieujemną funkcją prostą (kombinacją liniową) funkcji charakterystycznych, tj oraz ) , to całkę Lebesgue’a tej funkcji definiuje się jako sumę iloczynów miar Lebesgue'a poszczególnych zbiorów i liczb , tj.