Łuk podlega działaniom trzech sił i gdzie: – siła naprężenia łuku w punkcie o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie, – siła naprężenia łuku w punkcie o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie, – ciężar łuku krzywej.
Korzystając z założenia o stanie równowagi, dostaje się:
Wektory są ortogonalne, więc oznaczając przez kąt między wektorami dostaje się
Ciężar łuku wynosi
gdzie: – długość łuku – ciężar jednostki długości.
Stąd
Ostatecznie dostaje się równanie różniczkowe: gdzie
Różniczkując je względem otrzymujemy
i wykorzystując zależność dostaje się:
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego z warunkami początkowymi
Podstawiając:
otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu pierwszego:
Teraz rozdziela się zmienne i całkuje:
Następnie wraca się do podstawienia:
Uwzględniając warunki początkowe otrzymuje się ostatecznie
Zastosowania Liny wiszące thumb|300px
Krzywa łańcuchowa znajduje zastosowanie przy badaniu wiszących lin (np.