2).
Związki z iloczynem skalarnym
Iloczyny wektorowy i skalarny są ze sobą związane równością
Prawa strona tej równości to wyznacznik Grama wektorów oraz czyli kwadrat pola równoległoboku wyznaczanego przez te wektory (to spostrzeżenie znajduje zastosowanie w uogólnieniu przedstawionym w sekcji algebra wieloliniowa). Warunek ten opisuje długość iloczynu tych wektorów; wraz z wymaganiem ortogonalności iloczynu wektorowego do swoich czynników i umożliwia on podanie alternatywnej definicji iloczynu wektorowego: korzystając z własności iloczynu skalarnego, można wyrazić długość za pomocą kąta,
co z powyższą tożsamością daje
Zgodnie z regułą jedynki trygonometrycznej zachodzi równość:
która była punktem wyjścia dla długości iloczynu wektorowego w interpretacji geometrycznej.
Tożsamość daną wzorem
gdzie i mogą być wektorami -wymiarowymi nazywa się tożsamością Lagrange’a. W przypadku umożliwia ona wyrażenie długości iloczynu wektorowego za pomocą jego składowych:
Ten sam wynik uzyskuje się bezpośrednio, korzystając ze składowych iloczynu wektorowego otrzymanych ze wzoru wyznacznikowego. Równanie Lagrange’a w jest przypadkiem szczególnym multiplikatywności normy algebry kwaternionów (zob.