kwaterniony).
Jest to zarazem przypadek szczególny innego wzoru, również nazywanego niekiedy tożsamością Lagrange’a, będącego trójwymiarowym przypadkiem tożsamości Bineta-Cauchy’ego:
Jeśli oraz to wyrażenie to upraszcza się do powyższego.
Istnieje również własność łącząca iloczyn wektorowy z iloczynem mieszanym:
Uogólnienia Algebry Liego
Grupa ortogonalna to podgrupa grupy euklidesowej czyli grupy izometrii przestrzeni która zawiera wyłącznie izometrie zachowujące początek. Podgrupa grupy zawiera z kolei zaś tylko te izometrie zachowujące początek, które dodatkowo nie zmieniają orientacji przestrzeni – jest to grupa symetrii (trójwymiarowej) sfery i wszystkich obiektów o symetrii sferycznej względem środka tej sfery.
Iloczyn wektorowy jest jednym z prostszych nawiasów Liego, tzn. dwuargumentowych działań spełniających aksjomaty wieloliniowości, antysymetryczności i tożsamość Jacobiego; przestrzenie liniowe wyposażone w nawiasy Liego nazywa się algebrami Liego, które bada dział matematyki nazywany teorią Liego. Innym przykładem algebry Liego na jest algebra Heisenberga, w której nawias Liego opisany jest za pomocą zależności oraz