Niech

Można łatwo sprawdzić, że (przypomnijmy, że jest liczbą przestępną) oraz gdzie jest obrotem, a gdzie jest przesunięciem.

Rozkłady paradoksalne Definicje Przypuśćmy, że grupa działa na zbiorze Powiemy, że zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory (gdzie ) oraz elementy grupy takie że oraz

Intuicyjnie, jest paradoksalny ze względu na działanie grupy jeśli można podzielić zbiór na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kopie zbioru używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy Zbiór jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory oraz elementy grupy takie że oraz Niech Powiemy, że zbiory i są kawałkami -równoważne, jeśli można wybrać oraz tak że (a) dla (b) (c) dla każdego

Przykłady Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów okręgu.