Wówczas każdy ze zbiorów jest równoliczny ze zbiorem a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne i Rozważmy zbiory i Wówczas oraz funkcje i
są bijekcjami.
W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, jednak nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy istnieją podobne rozkłady z dodatkową własnością, taką że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na metryki naturalne).
Zbiór Vitalego, dyskutowany wcześniej, pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć okrąg wyjściowy, używając tylko obrotów. Niech zbiór będzie wybrany jak powyżej. Dla połóżmy Wówczas jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu Przypuśćmy, że jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję i zauważmy, że gdzie jest obrotem o kąt
Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych.