Zdefiniujmy zbiór jako jest zbiorem liczb regularnych, oraz jest maksymalnym ideałem na zawierającym wszystkie ograniczone podzbiory Kładziemy
Przykładowe twierdzenia teorii PCF Przypuśćmy, że jest graniczną liczbą porządkową oraz że (czyli nie jest punktem stałym skali alefów). Wówczas a stąd Na przykład (gdzie ). Jeśli jest przedziałem liczb regularnych i to jest również przedziałem liczb regularnych, który zawiera element największy oraz i też Hipoteza PCF mówi, że nawet jeśli jest przedziałem liczb regularnych i Jeśli jest nieskończoną liczbą kardynalną, to Z powyższych wyników możemy wywnioskować np. że: (a) jeśli gdzie jest graniczną liczbą porządkową, to (b) jeśli gdzie jest graniczną liczbą porządkową, to W szczególności, jeśli to Jeśli hipoteza PCF jest prawdziwa, to nawet Jeśli oraz zbiór jest stacjonarny w to
Powszechnie znaną (choć niekoniecznie popieraną) tezą Shelaha jest, że jeśli zinterpretujemy właściwie pierwszy problem Hilberta (używając podejścia motywowanego przez teorię PCF), to ma on odpowiedź pozytywnąShelah, Saharon: The generalized continuum hypothesis