Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: ).
Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:
To wystarczy do wyliczenia sumy liczb, np. obliczając (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:
bo 2 jest następnikiem 1, z definicji, następnik 2 oznaczamy symbolem 3, 1 jest następnikiem 0, z definicji, następnik 3 oznaczamy symbolem 4.
Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:
W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia byłby zastąpiony przez warunek:
Powyższe postulaty mówią, jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peana, można skonstruować na wiele sposobów.