Równie elegancko zachował się Euler, który doszedł do podobnych wyników innymi metodami. Uznając wyższość metody Lagrange’a, wstrzymał publikację swojej pracy na ten temat, aby umożliwić prezentację wyników młodego matematyka. Sam termin rachunek wariacyjny pochodzi od Eulera, ale pierwszeństwo w stworzeniu nowej gałęzi analizy matematycznej przypada w udziale Lagrange’owi, który dzięki temu natychmiast zyskał uznanie kolegów.
Okres turyński W roku 1758 Lagrange założył wraz z grupą uczniów towarzystwo naukowe, które później zostało wchłonięte przez Akademię w Turynie. Prace członków towarzystwa zebrane są w kilku tomach zatytułowanych Miscellanea Taurinensia – znajduje się tu również większość rozpraw Lagrange’a z turyńskiego okresu jego działalności. Lagrange zajmował się wtedy między innymi teorią rozchodzenia się dźwięku i zauważył błąd w wyjaśnieniu tego zjawiska dokonanym przez Newtona. Podał ogólne równanie różniczkowe opisujące rozchodzenie się fali dźwiękowej i rozwiązał je w przypadku jednowymiarowym. Rozwiązał też w ogólnym przypadku zagadnienie drgań poprzecznych struny – poprzednie rozwiązania, podane przez Taylora, d’Alemberta i samego Eulera dotyczyły jedynie szczególnych sytuacji.