Joseph Louis Lagrange, wł. Giuseppe Lodovico (Luigi) Lagrangia (ur. 25 stycznia 1736 w Turynie, zm. 10 kwietnia 1813 w Paryżu) – włosko-francuski uczony, zawodowo związany też z Królestwem Prus; matematyk, fizyk matematyczny i astronom teoretyczny. Profesor Pruskiej Akademii Nauk w Berlinie, paryskiego École normale supérieure i École polytechnique, członek Francuskiej Akademii Nauk i Towarzystwa Królewskiego w Londynie (ang. Royal Society).
Lagrange zajmował się głównie analizą, algebrą, teorią liczb, mechaniką klasyczną, grawitacją i zastosowaniem dwóch ostatnich dziedzin do mechaniki nieba. Miał wkład do analizy rzeczywistej jednej i wielu zmiennych, rachunku wariacyjnego, teorii interpolacji, algebry wielomianów i podstaw teorii grup permutacji. Jest też twórcą mechaniki analitycznej i współtwórcą układu metrycznego.
Jego zasługi uhonorowano pochówkiem w paryskim Panteonie, umieszczeniem nazwiska na wieży Eiffela, pomnikiem, nazwami co najmniej kilkunastu pojęć naukowych oraz paru obiektów astronomicznych.
Życiorys mały|Tablica w Turynie upamiętniająca miejsce narodzin Lagrange’a mały|Rycina z Lagrange’em
Młodość Ojciec Lagrange’a zarządzał kasą garnizonu wojskowego na Sardynii, co zapewniało rodzinie wysoki status społeczny i materialny, ale utracił majątek w wyniku spekulacji i młody Lagrange musiał samodzielnie zapracować na swoją pozycję. Uczył się w kolegium w Turynie; gdy w wieku siedemnastu lat przypadkiem wpadły mu w ręce wspomnienia Edmunda Halleya, skierował zainteresowania ku matematyce. Studia w tej dziedzinie podjął samodzielnie i już po roku wytężonej pracy stał się wykwalifikowanym matematykiem. Wysiłki Lagrange’a zostały docenione i w wieku lat dziewiętnastu mianowano go wykładowcą matematyki w szkole artylerii.
Euler Karierę matematyka Lagrange rozpoczął od rozwiązania zagadnienia izoperymetrycznego. Przedstawił je w liście do Leonharda Eulera, najsłynniejszego matematyka epoki. Metoda Lagrange’a była nowatorska i elegancka – Lagrange stworzył podstawy rachunku wariacyjnego i przy jego pomocy rozwiązał problem, który od półwiecza zaprzątał umysły matematyków.
Równie elegancko zachował się Euler, który doszedł do podobnych wyników innymi metodami. Uznając wyższość metody Lagrange’a, wstrzymał publikację swojej pracy na ten temat, aby umożliwić prezentację wyników młodego matematyka. Sam termin rachunek wariacyjny pochodzi od Eulera, ale pierwszeństwo w stworzeniu nowej gałęzi analizy matematycznej przypada w udziale Lagrange’owi, który dzięki temu natychmiast zyskał uznanie kolegów.
Okres turyński W roku 1758 Lagrange założył wraz z grupą uczniów towarzystwo naukowe, które później zostało wchłonięte przez Akademię w Turynie. Prace członków towarzystwa zebrane są w kilku tomach zatytułowanych Miscellanea Taurinensia – znajduje się tu również większość rozpraw Lagrange’a z turyńskiego okresu jego działalności. Lagrange zajmował się wtedy między innymi teorią rozchodzenia się dźwięku i zauważył błąd w wyjaśnieniu tego zjawiska dokonanym przez Newtona. Podał ogólne równanie różniczkowe opisujące rozchodzenie się fali dźwiękowej i rozwiązał je w przypadku jednowymiarowym. Rozwiązał też w ogólnym przypadku zagadnienie drgań poprzecznych struny – poprzednie rozwiązania, podane przez Taylora, d’Alemberta i samego Eulera dotyczyły jedynie szczególnych sytuacji. Uzyskane wyniki pozwoliły mu na opisanie zjawisk echa, odbicia i interferencji fal dźwiękowych.
Inne prace Lagrange’a zamieszczone w Miscellanea dotyczą rachunku prawdopodobieństwa, rachunku wariacyjnego (Lagrange sformułował wówczas zasadę najmniejszego działania), rachunku całkowego, zagadnienia ruchu trzech ciał oraz rozwiązania jednego z problemów Fermata: dla danej liczby naturalnej n, która nie jest kwadratem, znaleźć taką liczbę naturalną x, by x2n + 1 było kwadratem liczby naturalnej. W pracach z dziedziny algebry Lagrange opisał szczegółowo algorytm sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej.
Kłopoty ze zdrowiem Bezustanna i wyczerpująca praca odbiła się jednak na zdrowiu Lagrange’a. Pierwsze problemy pojawiły się w roku 1761, gdy Lagrange znajdował się u szczytu swoich możliwości twórczych. Zachodziła obawa o jego zdrowie psychiczne – lekarze wymusili na nim zmianę trybu życia, co przyniosło poprawę stanu zdrowia, jednak napady głębokiej melancholii co jakiś czas powracały.
Wiek dojrzały mały|Lagrange na jednym z portretów
Ruch Księżyca Kolejne prace Lagrange’a opublikowane w 1764 dotyczą libracji Księżyca i wyjaśnienia, dlaczego z Ziemi widać cały czas tylko jedną jego stronę. Rozwiązując te problemy, Lagrange rozważał pojęcie pracy wirtualnej, które później stało się jednym z podstawowych pojęć mechaniki teoretycznej.
Berlin Lagrange wybrał się do Londynu, jednak w drodze rozchorował się i zmuszony został do pobytu w Paryżu. Przyjęto go tutaj z honorami, co wywarło wrażenie na Lagrange’u i do prowincjonalnego Turynu wracał już niechętnie. Szybko więc przystał na złożoną mu w 1766 roku przez Fryderyka II ofertę objęcia opuszczonej właśnie przez Leonharda Eulera katedry matematyki Akademii w Berlinie. Król Prus zaproszenie swe ujął w formę propozycji nie do odrzucenia: Koniecznym jest, by największy z geometrów żył u boku największego z królów – należy tu wyjaśnić, że do połowy XIX wieku termin geometra oznaczał po prostu matematyka.
Kolejne dwadzieścia lat swego życia spędził więc Lagrange w Prusach. Stał się obok Eulera najbardziej uznanym matematykiem Europy, a jego prace publikowane były teraz w biuletynach akademii berlińskiej, paryskiej i turyńskiej. W Prusach powstało jego opus magnum – Mécanique analytique (Mechanika analityczna), książka będąca pierwszym podręcznikiem mechaniki teoretycznej.
Wkrótce po przyjeździe do Berlina Lagrange ożenił się, ale małżeństwo nie okazało się szczęśliwe – jego żona zmarła zresztą niedługi czas po ślubie.
Lagrange był faworytem króla, który często rozwodził się nad korzyściami płynącymi z doskonale zorganizowanego życia. Lagrange wziął sobie do serca dywagacje starego króla i zaczął traktować swój umysł i ciało, jakby były to urządzenia mechaniczne. Ustalił eksperymentalnie ilość pracy, jaką mógł wykonać bez narażania się na przemęczenie. Każdego wieczoru planował zadania do wykonania na dzień następny, a po ukończeniu każdego z nich, robił krótki przegląd omawianych zagadnień i dowodów i rozważał, czy nie można zaprezentować ich w doskonalszej formie. Taka metoda przynosiła rezultaty – przygotowując prace do publikacji Lagrange nie dokonywał w nich skreśleń ani poprawek.
Okres pruski mały|Dojrzały Lagrange na rycinie
Osiągnięcia Lagrange’a z okresu pobytu w Prusach są imponujące. Oprócz Mécanique analytique napisał przeszło sto prac (źródła na ten temat różnią się, w zależności od przyjmowanych kryteriów), opublikowanych przez akademie w Turynie, Berlinie i Paryżu. Wiele z nich to prace duże objętościowo, wszystkie zaś dotyczą trudnych zagadnień teoretycznych. Wyjąwszy krótkie okresy choroby, Lagrange publikował średnio jedną pracę miesięcznie. Poniższe omówienie dotyczy jedynie fragmentów tematyki, którą w latach 1766–1785 zajmował się uczony.
Astronomia Ważnym problemem poruszanym w Mécanique analytique jest zagadnienie ruchu trzech ciał we własnym polu grawitacyjnym. W przypadku ogólnym problem ten nie daje się rozwiązać analitycznie i trzeba odwołać się do metod numerycznych. Lagrange rozważał szczególny przypadek układu trzech ciał, gdy dwa z nich mają masy duże w stosunku do masy trzeciego, a wszystkie trzy ciała poruszają się w jednej płaszczyźnie. Okazuje się, że wówczas istnieje pięć punktów libracji (zwanych też punktami Lagrange’a), w których mniejsze ciało będzie zachowywało stałe położenie względem dwóch wirujących ciał większych. Dwa z punktów Lagrange’a mają szczególne znaczenie, są bowiem punktami równowagi stabilnej (niewielkie zaburzenie pozycji ciała nie wytrąci układu z równowagi). Teoria Lagrange’a została potwierdzona w sto lat po jego śmierci, gdy w układzie Słońce-Jowisz odkryto w punktach Lagrange’a dwie grupy planetoid: Greków i Trojańczyków.
Kolejna praca z astronomii poruszała problemy obserwacji ciał niebieskich: jak na podstawie zgromadzonych obserwacji astronomicznych otrzymać wynik najbardziej zbliżony do rzeczywistego położenia obserwowanego obiektu; w innych Lagrange analizował układ Jowisza i jego księżyców oraz perturbacje ruchu komet. Wiele z tych prac pisanych było na konkursy ogłaszane przez Akademię Francuską.
Algebra Większość prac z okresu pruskiego dotyczących algebry publikowana była przez Akademię w Berlinie. Lagrange zajmował się w nich głównie rozwiązalnością równań algebraicznych i uzyskał w tej dziedzinie ważne rezultaty.
Przede wszystkim uzupełnił luki w podanym przez Eulera dowodzie Zasadniczego Twierdzenia Algebry – niestety prace obu uczonych poszły w zapomnienie i pierwszeństwo dowodu przypadło w udziale Gaussowi. Dowód Lagrange’a (i Eulera) w opinii współczesnych matematyków jest jednak poprawny i jest podstawą tak zwanych „dowodów algebraicznych”, czyli korzystających z metod analizy w minimalnym stopniu.
Wiele prac Lagrange’a dotyczy rozwiązalności równań algebraicznych dowolnego stopnia. Po wskazaniu metody, jak rozwiązanie równania stopnia 3 lub 4 sprowadzić do rozwiązania kilku równań niższego stopnia, Lagrange próbował użyć tej samej techniki do równań stopnia wyższego niż 4. Niestety, otrzymane w tym przypadku równania były już stopnia wyższego niż równanie wyjściowe. Wobec tego Lagrange rozważał wartości funkcji wymiernych wielu zmiennych dla argumentów będących pierwiastkami danego równania i starał się ustalić jak zmieniają się one przy permutowaniu pierwiastków. To doprowadziło go do badania własności grupy permutacji zbioru pierwiastków. Mimo iż nie używał pojęcia grupy (wprowadził je kilkadziesiąt lat później Ewaryst Galois), Lagrange dowiódł jednego z podstawowych twierdzeń teorii grup, nazwanego później jego imieniem.
Kilkanaście lat po opublikowaniu wyników Lagrange’a jego metody wykorzystał Paolo Ruffini, który dowiódł, że ogólne równanie piątego stopnia nie daje się rozwiązać metodami algebraicznymi. Jego dowód nie został jednak uznany przez profesjonalnych matematyków (Ruffini był z zawodu lekarzem) i trzeba było czekać następne trzydzieści lat na dowód tego faktu przez Abela.
Teoria liczb Wiele prac z okresu pruskiego dotyczy teorii liczb. Lagrange udowodnił w nich między innymi twierdzenie mówiące, że dowolna liczba naturalna może być przedstawiona jako suma czterech kwadratów liczb całkowitych, podał dowód pełnej wersji twierdzenia Wilsona, dowody kilku pozostawionych bez dowodu wyników Fermata, znalazł metodę znajdowania dzielników liczb postaci x2 + ay2. Dowiódł też jednego z podstawowych faktów dotyczących kongruencji wyższych stopni – jak w przypadku grupy i tu Lagrange nie operował pojęciem kongruencji, które zostało wprowadzone dopiero później przez Gaussa.
Miscellanea Lata 1772–1785 przyniosły też szereg prac dotyczących teorii równań różniczkowych, w szczególności zaś równań różniczkowych cząstkowych, których teorię właściwie Lagrange stworzył. Oprócz tego kontynuował badania w dziedzinie astronomii. Ważniejsze z nich dotyczą opisu pola grawitacyjnego ciał elipsoidalnych i są oparte na wcześniejszych rozważaniach Maclaurina, ruchu Księżyca – Lagrange wprowadził w nich pojęcie potencjału grawitacyjnego, stabilności orbit planetarnych, ustalanie orbity komety na podstawie trzech obserwacji. Są też prace z teorii interpolacji – pewne zagadnienia w tych dziedzinach zostały ostatecznie rozwiązane przez Lagrange’a. Z tego też okresu pochodzi pojęcie wielomianu Lagrange’a oraz ważna w teorii funkcji wielu zmiennych metoda czynników Lagrange’a.
Mécanique analytique mały|Okładka Méchanique analytique