Wiele prac Lagrange’a dotyczy rozwiązalności równań algebraicznych dowolnego stopnia. Po wskazaniu metody, jak rozwiązanie równania stopnia 3 lub 4 sprowadzić do rozwiązania kilku równań niższego stopnia, Lagrange próbował użyć tej samej techniki do równań stopnia wyższego niż 4. Niestety, otrzymane w tym przypadku równania były już stopnia wyższego niż równanie wyjściowe. Wobec tego Lagrange rozważał wartości funkcji wymiernych wielu zmiennych dla argumentów będących pierwiastkami danego równania i starał się ustalić jak zmieniają się one przy permutowaniu pierwiastków. To doprowadziło go do badania własności grupy permutacji zbioru pierwiastków. Mimo iż nie używał pojęcia grupy (wprowadził je kilkadziesiąt lat później Ewaryst Galois), Lagrange dowiódł jednego z podstawowych twierdzeń teorii grup, nazwanego później jego imieniem.
Kilkanaście lat po opublikowaniu wyników Lagrange’a jego metody wykorzystał Paolo Ruffini, który dowiódł, że ogólne równanie piątego stopnia nie daje się rozwiązać metodami algebraicznymi. Jego dowód nie został jednak uznany przez profesjonalnych matematyków (Ruffini był z zawodu lekarzem) i trzeba było czekać następne trzydzieści lat na dowód tego faktu przez Abela.