Grupę, której jedynymi podgrupami normalnymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą prostą. Analogicznie grupę, której jedynymi podgrupami charakterystycznymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą elementarną bądź grupą charakterystycznie prostą.
Własności Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna. Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest ściśle charakterystyczna, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum jest zawsze podgrupą ściśle charakterystyczną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną. Jeśli jest grupą skończoną, jest jej podgrupą normalną oraz to
Przechodniość Własności charakterystyczności lub całkowitej charakterystyczności podgrupy są przechodnie. Otóż jeśli jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą a (całkowicie) charakterystyczną podgrupą to jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą
Co więcej, choć nie jest prawdą, że każda podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy jest normalna w tej grupie, to jest prawdą, iż każda charakterystyczna podgrupa podgrupy normalnej jest w niej normalna, czyli: w szczególności zaś