Dowód. Niech Niech będzie kulą domkniętą, o środku w punkcie zawierającą w swoim wnętrzu. Gdyby twierdzenie nie zachodziło, to istniałaby retrakcja przestrzeni na Jest ona zgodna z identycznością na zbiorze domkniętym więc razem tworzą retrakcję na Oznaczmy tę retrakcję przez r. Wtedy, oznaczając przez s promień kuli, oraz przez S sferę brzegową kuli B, zdefiniujmy
Zatem byłoby retrakcją kuli domkniętej na jej sferę brzegową, co jest niemożliwe. Koniec dowodu.
Twierdzenie (K.Borsuk) Niech będzie podprzestrzenią zwartą w – liczba naturalna. Niech będzie otoczeniem otwartym w przy czym jest retraktem Wtedy ma tylko skończoną liczbę składowych spójności.
Dowód. Niech będzie zwartym podzbiorem w zawierającym w swoim wnętrzu ( może być kulą domkniętą o dostatecznie wielkim promieniu). Niech Zatem jest retraktem zbioru otwartego
Niech będzie jedną ze składowych spójności zbioru Wtedy jest zbiorem otwartym (zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu) oraz jest zbiorem domkniętym, jako dopełnienie unii wszystkich pozostałych składowych spójności zbioru Gdyby to byłoby zwarte, i miałoby za swój retrakt, w sprzeczności z wcześniejszym twierdzeniem Borsuka, powyżej. Zatem rodzina: – składowa w