Pierścień wielomianów — część 3

oraz uniknięcie tych problemów jest możliwe poprzez przyjęcie wzorów oraz

oraz

Ponieważ tylko skończenie wiele współczynników oraz jest niezerowych, to wszystkie sumy mają skończenie wiele wyrazów, przez co reprezentują one wielomiany z co oznacza, że powyższe działania są poprawnie określone.

Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej o współczynnikach z pierścienia tworzy wraz z wyżej zdefiniowanymi działaniami pierścień przemienny, oznaczany symbolem nazywany pierścieniem wielomianów zmiennej nad pierścieniem Terminologia ma swoje źródło w ważnych przypadkach wielomianów o współczynnikach rzeczywistych czy zespolonych, które mogą być postrzegane jako rzeczywiste bądź zespolone funkcje wielomianowe. W ogólności jednak znak oraz jego potęgi traktuje się jako symbole formalne, spoza pierścienia O pierścieniu można myśleć jako o pierścieniu powstałym z przez dodanie do niego nowego, zewnętrznego w stosunku do tego pierścienia, elementu oraz wszystkich jego potęg, co gwarantuje, że będzie tworzyć pierścień;