prowadzi to wprost do definicji wielomianów jako kombinacji liniowych potęg o współczynnikach z
Konstrukcja Powyższe spojrzenie wyrosło na bazie klasycznej postaci wielomianów. Formalnie wielomian o współczynnikach z pierścienia definiuje się jako nieskończony ciąg jego elementów, w którym tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera.
Dla ciągów
oraz
można określić działanie dodawania po składowych, mnożenie dane jest zaś za pomocą splotu, odpowiednio:
co czyni ze zbioru wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad pierścień z jedynką nazywany pierścieniem wielomianów.
Wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość ciągów z wyrażeniami formalnymi wynika z utożsamień
itd.,
przy czym dwa pierwsze elementy są elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia.
Własności Jeżeli jest przemienny, to również. Jeżeli jest pierścieniem z jedynką, to również ją ma – jest to wielomian Jeżeli nie zawiera dzielników zera, to również. Jeżeli jest pierścieniem całkowitym, to również. Jeżeli jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to również (twierdzenie Gaussa). Jeżeli jest pierścieniem noetherowskim, to również (twierdzenie Hilberta o bazie). Jeżeli jest ciałem, to jest pierścieniem euklidesowym. Pierścień nie może być ciałem, gdyż element nie jest odwracalny.
Funkcja wielomianowa Wartością wielomianu