mały|300x300px|Sfera (powierzchnia kuli) – to dwuwymiarowa rozmaitość: a). w dużej skali mamy geometrię nieeuklidesową – suma kątów dużego trójkąta jest > 180°, b). lokalnie mamy geometrię euklidesową – suma kątów małego trójkąta = 180°, niewielkie fragmenty sfery można odwzorować wzajemnie jednoznacznie na dwuwymiarową płaszczyznę. Rozmaitość topologiczna – obiekt geometryczny, który lokalnie ma strukturę (w sensie topologicznym, różniczkowym, homologicznym itp.) przestrzeni lub innej przestrzeni wektorowej. Pojęcie to uogólnia na dowolną liczbę wymiarów pojęcia krzywej i powierzchni. Wprowadzenie go było spowodowane rozmaitymi potrzebami zarówno samej matematyki, jak i innych nauk.
W matematyce rozmaitości topologiczne funkcjonują przede wszystkim jako zbiory rozwiązań układów równań, a także jako rodziny obiektów geometrycznych i innych, które dają się parametryzować. Np. rodzina k-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni
Rozmaitości topologiczne pojawiają się także jako rozwiązania wielowymiarowych problemów wariacyjnych (np. bańki mydlane).