co więcej – funkcje f g są analityczne).
Rozmaitości n-wymiarowe Najprostszym przykładem rozmaitości niezwartej jest przestrzeń Wśród zwartych najprostsze są kula domknięta:
oraz sfera:
Brzegiem kuli jest sfera, której wymiar jest zawsze o jeden mniejszy
Sfera jest rozmaitością bez brzegu.
Uwaga: Sfera 0-wymiarowa jest 2-punktową przestrzenią dyskretną, a więc jest rozmaitością niespójną.
-wymiarową rozmaitością (bez brzegu) jest także torus, czyli -ta potęga kartezjańska okręgu:
Ogólnie, iloczyn kartezjański skończonego ciągu rozmaitości niepustych, których suma wymiarów jest jest rozmaitością -wymiarową.
Zachodzą klasyczne twierdzenia: Twierdzenie (Brouwer) Kula ma własność punktu stałego: dla dowolnego odwzorowania ciągłego
istnieje takie, że
Twierdzenie (o retrakcji) Nie istnieje retrakcja (ciągła) kuli na jej brzeg, to znaczy: nie istnieje odwzorowanie ciągłe
takie, że dla każdego
Uwaga: Ogólniej, żadna niepusta rozmaitość zwarta z brzegiem (być może pustym) nie dopuszcza retrakcji na swój brzeg.
Niech gdzie oraz Dla dowolnej liczby rzeczywistej s zdefiniujmy:
gdzie operacja oznacza iloczyn skalarny. Wtedy każde jest homeomorficzne z Dowodzi się homeomorfizmu metodami elementarnej algebry liniowej.