Tak otrzymane przestrzenie (n-1)-wymiarowe są parami rozłączne i pokrywają całe W szczególności
Sfera bez punktu Niech więc Niech ponadto:
Pokażemy, że
Sfera bez punktu, jest homeomorficzna z
na przykład z
Dowód Zacznijmy od odwzorowania ciągłego danego wzorem:
Mianownik nie jest 0 dla Łatwo też sprawdzić, że rzeczywiście czyli że
Jeżeli to:
skąd więc Możemy więc rozpatrywać obcięcie
Jest to tak zwany rzut stereograficzny; pokażemy, że jest homeomorfizmem – homeomorfizmem odwrotnym jest funkcja dana wzorem:
(łatwo policzyć, że naprawdę czyli ). Sprawdźmy, że i są wzajemnie odwrotnymi funkcjami. Najpierw niech dla pewnego Wtedy ze wzoru na otrzymujemy:
oraz
krótko:
Zatem:
czyli co kończy pierwszą połowę dowodu homeomorficzności rzutu stereograficznego.
Niech z kolei gdzie czyli Wtedy
Policzmy licznik i mianownik ułamka najpierw licznik:
A teraz mianownik:
Zatem czyli co kończy dowód tego, że rzut stereograficzny jest homeomorfizmem.
Koniec dowodu.
Uwaga Rzut stereograficzny i jego odwrotność można oznaczać bardziej specyficznie przez oraz Na przykład: oraz gdzie
Twierdzenie Niech będzie dowolnym odwzorowaniem ciągłym, zdefiniowanym na dowolnej przestrzeni topologicznej Jeżeli nie jest na, to jest homotopijnie trywialne.