Dowód Niech punkt sfery nie należy do obrazu funkcji Homotopia łącząca z funkcją stałą (o wartości ), dana jest następująco:
dla oraz
Koniec dowodu.
Częściowa jednorodność topologiczna Bn Niech będzie homeomorfizmem (patrz wyżej) danym wzorem:
Wówczas odwzorowanie dane wzorem
jest również homeomorfizmem.
Homeomorfizm, odwrotny do można opisać przy pomocy wzoru:
gdzie jest homeomorfizmem odwrotnym do (patrz wyżej).
Następujące twierdzenie pokazuje częściową jednorodność topologiczną
Twierdzenie: Dla dowolnych istnieje homeomorfizm kuli domkniętej na siebie, taki że oraz dla każdego
Dowód: Homeomorfizm definiuje się wzorem:
Koniec dowodu.
Uwaga: Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla Dowód jest wtedy trywialny, gdyż zbiór jest pusty.
Powyższa konstrukcja daje więcej, gdyż określa działanie (topologiczne) addytywnej grupy topologicznej na przestrzeń
które jest tożsamością na oraz działa jednobieżnie (1-tranzytywnie) we wnętrzu dane jest wzorem:
Wtedy oraz
co pokazuje, że jest rzeczywiście grupą transformacji.