thumb |Zbiór wypukły (kolor niebieski) wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi (czerwone linie) Twierdzenie Krejna-Milmana – twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane w 1940 roku przez radzieckich matematyków Marka Krejna i Dawida Milmana. Przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla .: Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.
W szczególności może być przestrzenią unormowanąPrzestrzeń sprzężona do przestrzeni liniowo-topologicznej wyposażona w *-słabą topologię jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo topologiczną.. Pod nazwą „twierdzenie Krejna-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie: Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej do rzeczywistej przestrzeni unormowanej ma punkt ekstremalny.
Dowód
Zbiór nazywa się zbiorem podpierającym zbioru jeżeli jest takim domkniętym zbiorem afinicznym przecinającym dla którego należenie do pewnego punktu wewnętrznego odcinka zawartego w pociąga zawieranie całego odcinka. Dowód polega na wykazaniu, iż zbiory podpierające są jednopunktowe, a punkty podpierające to nic innego jak punkty ekstremalne.
Dla dowolnego wektora hiperpłaszczyzna