jest podpierająca. Niech oznacza rodzinę wszystkich zbiorów podpierających zawartych w uporządkowaną relacją zawierania – z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje łańcuch maksymalny w tej rodzinie. Przecięcie wszystkich zbiorów podpierających z należy do (na mocy maksymalności łańcucha); wystarczy dowieść, iż jest jednopunktowy. Otóż jeśli zawiera dwa elementy oraz to można je rozdzielić za pomocą pewnego funkcjonału (tzn. wybrać taki dla którego ), a następnie położyć gdzie
Ponieważ jest zbiorem domkniętym mającym infimum z a ponadto będącym zarazem zbiorem podpierającym, co przeczy maksymalności
Jeśli oznacza zbiór wszystkich punktów ekstremalnych zbioru to domknięcie zbioru jest jego podzbiorem właściwym. Stąd można oddzielić punkt od zbioru za pomocą funkcjonału i rozważając płaszczyznę podpierającą znaleźć punkt ekstremalny zbioru nie należący do na tej hiperpłaszczyźnie. Sprzeczność ta kończy dowód.
Zobacz też twierdzenie Banacha-Alaoglu
Uwagi
Przypisy
Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne Krejna-Milmana